Euclide écrit les Éléments

Le récit

Un auteur sans biographie

Euclide est l’un des auteurs les plus lus de l’histoire, mais nous ne savons presque rien de lui. Nous ne connaissons ni sa date de naissance, ni son lieu de naissance, ni son apparence, ni sa famille. Les spécialistes le situent entre la fin du IVe et le début du IIIe siècle av. J.-C. Le philosophe Proclus, qui écrivit de nombreux siècles plus tard, raconte qu’il fut plus jeune que les disciples de Platon et plus âgé qu’Ératosthène et qu’Archimède, et qu’il vécut au temps de Ptolémée Ier, le roi d’Égypte. Il enseignait probablement au Musée d’Alexandrie (c’est une reconstitution, pas une donnée certaine), le grand centre d’études voulu par les Ptolémées. C’est pourquoi notre site indique comme date « vers 300 av. J.-C. » : c’est une estimation, pas une année précise.

Nous connaissons aussi une anecdote, qui pourrait être une légende. Le roi Ptolémée lui aurait demandé s’il existait un moyen plus court d’apprendre la géométrie. Euclide aurait répondu qu’il n’existe pas en géométrie de « voie faite pour les rois ». Comme pour dire : l’étude est la même pour tous, même pour les puissants.

Le livre qui mit de l’ordre dans les mathématiques

L’œuvre qui l’a rendu célèbre s’appelle les « Éléments ». Elle est divisée en 13 livres, qui rassemblent et mettent en ordre ce que les mathématiciens grecs savaient à son époque. Les livres un à six parlent de géométrie plane : triangles, quadrilatères, cercles, proportions. Du septième au neuvième, on traite des nombres et de leurs propriétés. Le dixième étudie les grandeurs qu’on ne peut pas mesurer avec des nombres entiers ou des fractions, dites incommensurables. Les trois derniers livres, du onzième au treizième, concernent la géométrie dans l’espace, c’est-à-dire les solides.

Les « Éléments » ne sont pas un recueil de résultats pris au hasard. Le mérite d’Euclide est la méthode. Chaque livre s’ouvre par des définitions, c’est-à-dire l’explication de ce qu’est un point, une ligne, un cercle. Viennent ensuite les postulats et les notions communes, c’est-à-dire les quelques affirmations simples que l’on accepte sans les démontrer : par exemple, qu’entre deux points on peut tracer une droite. À partir de ces bases, Euclide démontre, pas à pas, des centaines de propositions et de théorèmes : chaque résultat s’appuie sur les précédents, sans sauts. C’est un édifice construit brique par brique, où chaque brique est vérifiée.

Le cinquième postulat

Parmi les postulats, il y en a un, le cinquième, qui a toujours semblé différent des autres. Il concerne les droites parallèles, et dans la formulation la plus simple, celle du savant Playfair en 1795, il dit que, étant donné une droite et un point extérieur à elle, on peut tracer une seule droite parallèle à la droite donnée. Si l’on nie ce postulat, on ne tombe pas dans la contradiction, mais on obtient d’autres géométries : l’elliptique, dans laquelle par un point extérieur à la droite ne passe aucune parallèle, et l’hyperbolique, dans laquelle il en passe au moins deux. Ce sont les « géométries non euclidiennes ».

Un livre qui dure depuis deux mille ans

Les « Éléments » furent copiés à la main pendant des siècles et traduits plusieurs fois. L’une des versions latines, celle de Campanus de Novare, révisée à partir de la traduction d’Adélard de Bath, fut imprimée à Venise en 1482. Pendant plus de vingt siècles, il fut considéré comme le modèle de la façon d’écrire un texte scientifique, clair et rigoureux, et jusqu’au début du XXe siècle, ce fut l’un des principaux textes pour enseigner la géométrie dans les écoles. Selon un spécialiste cité par Wikipédia, le nombre de ses éditions n’a été dépassé que par celui de la Bible.

Euclide écrivit aussi d’autres œuvres. Les « Éléments » sont la plus célèbre, mais parmi celles qui nous sont parvenues, certaines lui étant attribuées, il y a aussi l’« Optique » et la « Catoptrique », sur la lumière et les miroirs, les « Phénomènes », sur l’astronomie, les « Données », la « Division du canon », sur la musique, et la « Division des figures ». D’autres, comme les « Lieux à la surface » et les « Coniques », sont perdues.