Mathématiques babyloniennes

Le récit

Une tablette achetée par un collectionneur

Au début du XXe siècle, un éditeur américain de New York, George Arthur Plimpton, collectionnait les manuscrits anciens. Vers 1922, il acheta à un marchand d’antiquités une tablette d’argile cassée à un angle, grande comme la paume d’une main, écrite en cunéiforme. Il la donna ensuite à l’Université Columbia, où elle se trouve aujourd’hui sous le sigle « Plimpton 322 ». Pendant des années, personne n’y fit attention. En 1945, deux historiens des mathématiques, Otto Neugebauer et Abraham Sachs, l’étudièrent et s’aperçurent qu’elle contenait un tableau de nombres très particuliers. Depuis, les spécialistes n’ont plus cessé d’en discuter.

La tablette, écrite probablement vers 1800 av. J.-C. et venant peut-être de Larsa, dans le sud de l’Irak, comporte quinze lignes de nombres. Selon Neugebauer et Sachs, ces nombres sont liés aux triangles rectangles, c’est-à-dire à ces trios de nombres comme 3, 4, 5 ou 5, 12, 13 pour lesquels le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres. Si c’était le cas, les Babyloniens connaissaient cette propriété plus de mille ans avant Pythagore. D’autres spécialistes, comme Eleanor Robson, soutiennent que la tablette est surtout une liste de nombres préparée par un enseignant pour construire des problèmes pour ses élèves. La question reste ouverte, mais tout le monde est d’accord sur une chose : derrière ces nombres, il y a des mathématiques sophistiquées.

Compter en base 60

Les Babyloniens ne comptaient pas comme nous. Notre système est en base dix : après neuf, on passe à dix. Le leur était en base soixante, dit sexagésimal. Nous ne savons pas avec certitude pourquoi ils l’ont choisi : peut-être parce que 60 se divise exactement par beaucoup de nombres (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30), ce qui est très commode pour partager en parts égales. Une hypothèse curieuse est qu’il vienne d’une façon de compter avec les doigts : avec le pouce d’une main, on touche les douze phalanges des quatre autres doigts, et avec l’autre main on compte les tours.

Surtout, le système babylonien était « positionnel » : la valeur d’un chiffre dépend de la place où il se trouve, comme dans notre 305, où le 3 vaut trois cents. Cela rend faciles les calculs avec des nombres énormes ou minuscules, et ce fut une invention fondamentale. Pendant longtemps, pourtant, le zéro manqua : là où nous écrivons aujourd’hui 305, les scribes laissaient un espace vide, et c’est seulement bien plus tard, vers le IIIe siècle av. J.-C., qu’ils inventèrent un signe pour marquer la place vide.

Ce qu’ils savaient faire

Les scribes babyloniens, formés dans les écoles de Nippur, d’Ur et de Larsa, utilisaient des tables toutes prêtes : de multiplications, d’inverses (les nombres par lesquels diviser), de carrés et de racines. Avec ces outils, ils résolvaient des problèmes pratiques, comme calculer la surface d’un champ, le volume d’un tas de terre ou d’un canal, le nombre de briques pour un mur, ou le temps qu’il faut pour doubler un capital avec un certain intérêt.

Ils savaient aussi résoudre des équations du second degré, avec des méthodes qui ressemblent à celles qu’on étudie aujourd’hui. Une autre tablette célèbre, YBC 7289, conservée à l’Université Yale, montre un carré avec ses diagonales et un nombre écrit en base 60 qui donne la racine carrée de 2 avec une approximation de six décimales : 1,41421296. Celui qui a calculé ce nombre, il y a plus de 3600 ans, n’avait pas de calculatrice.

Le ciel, le temps et l’horloge

Les Babyloniens furent aussi de grands observateurs du ciel. Pendant des siècles, ils notèrent les mouvements de la Lune et des planètes, les éclipses et les levers des étoiles, et apprirent à les prévoir par le calcul. Leurs nombres furent repris par les astronomes grecs, en particulier par Hipparque au IIe siècle av. J.-C. et par Ptolémée au IIe siècle apr. J.-C., qui adoptèrent le système sexagésimal pour les fractions. De là vient un héritage dont nous nous servons chaque jour : l’heure divisée en 60 « parties minuscules », c’est-à-dire en minutes, et la minute en 60 autres parties, les « secondes » (en latin partes minutae secundae). Le jour de 24 heures, en revanche, est d’origine égyptienne, comme nous l’avons vu.

La division du cercle en 360 degrés vient aussi de cette tradition. Pourquoi 360 ? Peut-être parce que l’année dure environ 360 jours, peut-être parce que 360 est un multiple de 60 et a énormément de diviseurs. Les spécialistes ne sont pas sûrs de la raison. Mais les Grecs l’ont prise aux Babyloniens, et c’est par eux qu’elle est arrivée jusqu’à nous.

Doutes et prudence

Il faut faire attention à ne pas exagérer. Les Babyloniens n’écrivaient pas de démonstrations comme celles des Grecs : ils disaient « fais ainsi et tu obtiens cela », avec des exemples numériques, et n’expliquaient pas pourquoi la méthode marchait. Les historiens discutent pour savoir s’ils avaient vraiment une théorie ou seulement de très bonnes recettes. Et les textes que nous avons sont peu nombreux et abîmés : notre image des mathématiques babyloniennes pourrait changer avec de nouvelles découvertes.