Babylonische Mathematik

Die Geschichte

Eine Tafel von einem Sammler gekauft

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts sammelte ein amerikanischer Verleger aus New York, George Arthur Plimpton, alte Handschriften. Um 1922 kaufte er von einem Antiquitätenhändler eine an einer Ecke gebrochene Tontafel, handtellergroß, in Keilschrift beschrieben. Er schenkte sie dann der Columbia University, wo sie sich heute unter der Signatur „Plimpton 322“ befindet. Jahrelang beachtete sie niemand. 1945 untersuchten sie zwei Mathematikhistoriker, Otto Neugebauer und Abraham Sachs, und bemerkten, dass sie eine Tabelle mit ganz besonderen Zahlen enthielt. Seitdem hören die Forschenden nicht auf, darüber zu diskutieren.

Die Tafel, wahrscheinlich um 1800 v. Chr. geschrieben und vielleicht aus Larsa im Südirak stammend, hat fünfzehn Zeilen mit Zahlen. Nach Neugebauer und Sachs hängen diese Zahlen mit rechtwinkligen Dreiecken zusammen, also mit Zahlentripeln wie 3, 4, 5 oder 5, 12, 13, bei denen das Quadrat der längsten Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen ist. Wenn das stimmt, kannten die Babylonier diese Eigenschaft mehr als tausend Jahre vor Pythagoras. Andere Forschende, wie Eleanor Robson, meinen, die Tafel sei vor allem eine von einem Lehrer vorbereitete Zahlenliste, um Aufgaben für die Schüler zu bilden. Die Frage bleibt offen, aber in einem sind sich alle einig: Hinter diesen Zahlen steckt eine anspruchsvolle Mathematik.

Zählen zur Basis 60

Die Babylonier zählten nicht wie wir. Unser System hat die Basis zehn: Nach der Neun kommt die Zehn. Ihres hatte die Basis sechzig und heißt Sexagesimalsystem. Wir wissen nicht sicher, warum sie es wählten: vielleicht weil sich 60 durch viele Zahlen genau teilen lässt (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30), was zum gleichmäßigen Teilen sehr bequem ist. Eine kuriose Vermutung ist, dass es von einer Zählweise mit den Fingern stammt: Mit dem Daumen einer Hand berührt man die zwölf Fingerglieder der anderen vier Finger, und mit der anderen Hand zählt man die Durchgänge.

Vor allem war das babylonische System „positional“: Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Stelle ab, wie in unserer 305, wo die 3 dreihundert wert ist. Das macht Rechnungen mit riesigen oder winzigen Zahlen leicht und war eine grundlegende Erfindung. Lange fehlte jedoch die Null: Wo wir heute 305 schreiben, ließen die Schreiber eine Lücke, und erst viel später, im 3. Jahrhundert v. Chr., erfanden sie ein Zeichen für die leere Stelle.

Was sie konnten

Die babylonischen Schreiber, in den Schulen von Nippur, Ur und Larsa ausgebildet, benutzten fertige Tabellen: für Multiplikationen, für Kehrwerte (die Zahlen, durch die man teilt), für Quadrate und Wurzeln. Damit lösten sie praktische Aufgaben, etwa die Fläche eines Feldes, das Volumen eines Erdhaufens oder eines Kanals, die Zahl der Ziegel für eine Mauer oder die Zeit zu berechnen, die ein Kapital mit einem bestimmten Zins braucht, um sich zu verdoppeln.

Sie konnten auch quadratische Gleichungen lösen, mit Methoden, die denen ähneln, die man heute lernt. Eine weitere berühmte Tafel, YBC 7289, an der Yale-Universität aufbewahrt, zeigt ein Quadrat mit Diagonalen und eine im Sechzigersystem geschriebene Zahl, die die Quadratwurzel aus 2 mit einer Näherung auf sechs Dezimalstellen angibt: 1,41421296. Wer diese Zahl vor über 3600 Jahren berechnete, hatte keinen Taschenrechner.

Der Himmel, die Zeit und die Uhr

Die Babylonier waren auch große Beobachter des Himmels. Sie notierten jahrhundertelang die Bewegungen von Mond und Planeten, die Finsternisse und die Aufgänge der Sterne und lernten, sie durch Rechnung vorherzusagen. Ihre Zahlen wurden von den griechischen Astronomen übernommen, besonders von Hipparchos im 2. Jahrhundert v. Chr. und von Ptolemäus im 2. Jahrhundert n. Chr., die das Sexagesimalsystem für Brüche übernahmen. Daher kommt ein Erbe, das wir täglich nutzen: die Stunde in 60 „kleine Teile“ geteilt, also in Minuten, und die Minute in weitere 60 „Sekunden“ (lateinisch partes minutae secundae). Der Tag mit 24 Stunden ist dagegen ägyptischen Ursprungs, wie wir gesehen haben.

Auch die Teilung des Kreises in 360 Grad stammt aus dieser Tradition. Warum 360? Vielleicht weil das Jahr etwa 360 Tage dauert, vielleicht weil 360 ein Vielfaches von 60 ist und sehr viele Teiler hat. Die Forschenden sind sich über den Grund nicht sicher. Aber die Griechen übernahmen sie von den Babyloniern, und von ihnen ist sie zu uns gekommen.

Zweifel und Vorsicht

Wir müssen aufpassen, nicht zu übertreiben. Die Babylonier schrieben keine Beweise wie die Griechen: Sie sagten „mach es so, dann erhältst du dies“, mit Zahlenbeispielen, und erklärten nicht, warum die Methode funktionierte. Die Historiker diskutieren, ob sie wirklich eine Theorie hatten oder nur sehr gute Rezepte. Und die Texte, die wir haben, sind wenige und beschädigt: Unser Bild der babylonischen Mathematik könnte sich mit neuen Funden ändern.